Question

18．若点O和点F分别为椭圆3x²+4y²=12的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$最大值为6．

Answer 1

分析 设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值．

解答 解：设P（x，y），
则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$=（x，y）•（x+1，y）=x²+x+y²，
又点P在椭圆上，故3x²+4y²=12，
所以x²+x+（3-$\frac{3}{4}$x²）=$\frac{1}{4}$x²+x+3=$\frac{1}{4}$（x+2）²+2，
又-2≤x≤2，
所以当x=2时，$\frac{1}{4}$（x+2）²+2取得最大值为6，即$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最大值为6，
故答案为：6．

点评 本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，属中档题．