Question

19．已知f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x+c，若x∈[0，2]都有f（x）＞2c-$\frac{1}{2}$恒成立，则c的取值范围是（-∞，-3）．

Answer 1

分析 要使不等式恒成立问题，只要函数的最小值大于代数式即可，f （ x）的最小值为f （1）；要使f（x）＞2c-$\frac{1}{2}$恒成立，只需f （1）＜2c-$\frac{1}{2}$，解不等式即可．

解答 解：f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x+c，f′（ x）=3x²+3x-6，
令f′（ x）=3x²+3x-6＞0得x＜-2或x＞1，
所以f （ x）在[0，1]函数是减函数，[1，2]上递增；
又f（1）=c-$\frac{7}{2}$
∴f （ x）的最小值为f （1）；
要使x∈[0，2]都有f（x）＞2c-$\frac{1}{2}$恒成立，只需f （1）＞2c-$\frac{1}{2}$，
解得c＜-3．
c的取值范围是：（-∞，-3）．
故答案为：（-∞，-3）．

点评 本题考查函数的极值的应用，考查函数的恒成立问题，本题解题的关键是写出函数的最值，哪函数的最值同要比较的量进行比较，再利用不等式或方程思想．