Question

如图，将两个全等的30°的直角三角形ABC和直角三角形ADC拼在一起组成平面四边形ABCD，若

DB

=x

DA

+y

DC

，则x，y分别等于（　　）

• A、

  3

  2

  ，

  3

  2

• B、

  3

  2

  ，

  1

  2

• C、

  3

  2

  ，

  3

  2

• D、

  1

  2

  ，

  3

  2

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：根据直角三角形中的边角关系求出各边长，余弦定理求出DB²=x²+y² ①，Rt△CC′B中，由勾股定理得BC²=CC'²+C′B²，即 6=（y-1）2+x2 ②，由①②可解得 x、y值．

解答： 解：由题意得，若设 AD=

3

，DC=1，则 AC=2，AB=

3

，BC=1，
由题意知，

DB

=x

DA

+y

DC

，△BCD中，∵AB=AD=

3

，∠BAD=60°，∴DB=

3

，
∵

DB

=x

DA

+y

DC

，∠ADC=90°，
∴DB²=3x²+y²，∴3x²+y²=3 ①．
如图，作 

DC′

=y

DC

，

DA′

=x

DA

则

DB

=

DC′

+

DA′

，

CC′=y-1，C′B=

3

x，
Rt△CC′B中，由勾股定理得BC²=CC'²+C′B²，即 1=（y-1）²+3x²，②
由①②可得 x=

1

2

，y=

3

2

，
故选：D．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，余弦定理、勾股定理得应用，体现了数形集合的数学思想．