Question

已知函数g（x）=1+

2

2x-1

．
（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数；
（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义，先在所给区间上任设两个数并确定好大小，然后通过作差法即可获得自变量对应函数值的大小关系，由定义即可获得问题的解答；
（2）由第（1）问，函数g（x）在（-∞，0）上为减函数，故函数g（x）在（-∞，-1]上为减函数，因此当x=-1时，函数g（x）取最小值．

解答： 解：（1）证明：（1）设x₁＜x₂＜0，
则g（x₁）-g（x₂）=1+

2

2x1-1

-（1+

2

2x2-1

）=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁＜x₂＜0，∴2^x₂-2^x₁＞0且2^x₁-1＜0，2^x2-1＜0，∴

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0即g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）∵函数g（x）在（-∞，0）上为减函数，
∴函数g（x）在（-∞，-1]上为减函数，
∴当x=-1时，g(x)min=g(-1)=1+

2

2-1-1

=-3．

点评：本题考查的是函数单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法、函数的单调性与函数最值的关系，属于中档题．