Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n∈N^*）．若b_n+1=（n-λ）•（

1

an

+1）（n∈N^*），b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式得到数列{

1

an

+1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入b_n+1=（n-λ）•（

1

an

+1），由b₂＞b₁求得实数λ的取值范围，验证满足b_n+1=（n-λ）•2ⁿ为增函数得答案．

解答： 解：由a_n+1=

an

an+2

，得

1

an+1

=

2

an

+1，
则

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，
由a₁=1，得

1

a1

+1=2，
∴数列{

1

an

+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴

1

an

+1=2n．
由b_n+1=（n-λ）•（

1

an

+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，
b₂=（1-λ）•2=2-2λ，
由b₂＞b₁，得2-2λ＞-λ，得λ＜2，
此时b_n+1=（n-λ）•2ⁿ为增函数，满足题意．
∴实数λ的取值范围是（-∞，2）．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是由数列递推式得到数列{

1

an

+1}是首项为2，公比为2的等比数列，是中档题．