Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N₊）．
（1）求证：数列{a_n+1}成等比数列；
（2）设b_n=na_n，求{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式得到n≥2时，S_n=2S_n-1+n+4，和原递推式联立后得到a_n+1=2a_n+1．即可证得数列{a_n+1}成等比数列；
（2）由（1）中的等比数列求出数列{a_n}的通项公式，代入设b_n=na_n，分组后利用等差数列的前n项和与错位相减法求{b_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N₊），
可得n≥2时，S_n=2S_n-1+n+4，两式相减得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，即a_n+1=2a_n+1．
从而a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2）．
当n=1时，S₂=2S₁+1+5，
∴a₂+a₁=2a₁+6，
又a₁=5，∴a₂=11．
从而a₂+1=2（a₁+1）．
故总有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N₊，
又a₁=5，a₁+1≠0，
从而数列{a_n+1}成等比数列；
（2）由（1）知a_n=3×2ⁿ-1，
∴b_n=na_n=3n•2ⁿ-n．
则T_n=3（1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）-（1+2+3+…+n）．
令Rn=1•21+2•22+…+n•2n，
则2Rn=1•22+2•23+…+n•2n+1，
作差得：-Rn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
∴Rn=(n-1)2n+1+2．
∴Tn=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．