Question

已知函数f（x）=

3x+7

x+2

．
（1）求函数的单调区间
（2）当m∈（-2，2）时，有f（-2m+3）＞f（m²），求m的范围．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），判断f′（x）的符号，从而找出该函数的单调区间；
（2）先根据m的范围，求出-2m+3和m²的范围，并确定出-2m+3和m²都在单调区间（-2，+∞），根据单调性解不等式即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

3x+6-3x-7

(x+2)2

=-

1

(x+2)2

＜0；
函数f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）上单调递减，即该函数的单调递减区间是：（-∞，-2），（-2，+∞）；
（2）m∈（-2，2）时，-2m+3∈（-1，7），m²∈[0，4）；
即-2m+3和m²都在f（x）的递减区间（-2，+∞）上；
∴由f（-2m+3）＞f（m²）得：-2m+3＜m²，解得m＜-3，或m＞1，又m∈（-2，2），
∴1＜m＜2；
∴m的范围是（1，2）．

点评：考查函数导数符号和函数单调性，单调区间的关系，根据函数单调性解不等式．