Question

在淘宝网上，某店铺专卖孝感某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x-3）²+

b

x-1

，（a，b为常数）；当3＜x≤5时，y=-70x+490．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大（x精确到0.1元/千克）．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，代入数据求出a，b；从而求出函数的解析式；
（2）由于是分段函数，讨论其各部分的最大值，从而求函数的最大值点．

解答： 解：（1）由题意：
x=2时y=600，∴a+b=600，
又∵x=3时y=150，∴b=300．
∴y=

300(x-3)2+ 300 x-1 ，1＜x≤3 -70x+490，3＜x≤5

．
（2）由题意：
f(x)=y(x-1)=

300(x-3)2(x-1)+300，1＜x≤3 (-70x+490)(x-1)，3＜x≤5

，
当1＜x≤3时，
f（x）=300（x-3）²（x-1）+300=300（x³-7x²+15x-8），
f'（x）=300（3x²-14x+15）=（3x-5）（x-3），
∴x=

5

3

时有最大值

5900

9

． 
当3＜x≤5时，
f（x）=（-70x+490）（x-1），
∴x=4时有最大值630．
∵630＜

5900

9

，
∴当x=

5

3

时f（x）有最大值

5900

9

，
即当销售价格为1.7元的值，使店铺所获利润最大．

点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了分段函数的最大值的求法，属于中档题．