Question

设f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2ax．
（1）若f（x）在（

2

3

，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为-

16

3

，求f（x）在该区间的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=-x²+x+2a，求出函数的最值，继而得到a的取值范围．
（2）先根据导数求出极值点．在判断函数的再某个区间上的单调性，根据单调性得到最值．

解答： 解：（1）由f′(x)=-x2+x+2a=-(x-

1

2

)2+

1

4

+2a．
当x∈[

2

3

，+∞)时，f'（x）的最大值为f′(

2

3

)=-(

2

3

-

1

2

)2+

1

4

+2a=

2

9

+2a．
因为f（x）在(

2

3

，+∞)上是单调减函数，则f'（x）≤0在(

2

3

，+∞)上成立，
所以

2

9

+2a≤0，解得a≤-

1

9

，故所求实数a的取值范围为(-∞，-

1

9

]．
（2）令f′(x)=0，得两根x1=

1- 1+8a

2

，x2=

1+ 1+8a

2

．
因为当x＜x₁或x＞x₂时f'（x）＜0，当x₁＜x＜x₂时f'（x）＞0
所以f（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增．
当0＜a＜2时，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x₂），
又f(4)-f(1)=-

27

2

+6a＜0，即f(4)＜f(1)．
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f(4)=8a-

40

3

=-

16

3

．
得a=1，x₂=2，从而f（x）在[1，4]上的最大值为f(2)=

10

3

．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．