Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为（-2，0），离心率e=

6

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，T为直线x=-3上一点，过F作TF的垂线交椭圆C于P，Q两点，当四边形OPTQ是平行四边形时，求点T的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知得

c

a

=

6

3

，c=2，解得a=

6

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设T点的坐标为（-3，m），则直线TF的斜率k_TF=

m-0

-3-(-2)

=-m，当m≠0时，直线PQ的斜率k_PQ=

1

m

，直线PQ的方程是x=my-2，当m=0时，直线PQ的方程是x=2，也符合x=my-2的形式，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m²+3）y²-4my-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识能求出T点坐标．

解答： 解：（1）由已知得

c

a

=

6

3

，c=2，解得a=

6

，
由a²=b²+c²，解得b=

2

，
∴椭圆的标准方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）设T点的坐标为（-3，m），
则直线TF的斜率k_TF=

m-0

-3-(-2)

=-m，
当m≠0时，直线PQ的斜率k_PQ=

1

m

，
直线PQ的方程是x=my-2，当m=0时，直线PQ的方程是x=2，
也符合x=my-2的形式，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
得

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，消去x，得（m²+3）y²-4my-2=0，
其判断式△=16m²+8（m²+3）＞0，
∴y1+y2=

4m

m2+3

，y1y2=

-2

m2+3

，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=

-12

m2+3

，
∵四边形OPTQ是平行四边形，
∴

OP

=

OT

，即（x₁，y₁）=（-3-x₂，m-y₂），
∴

x1+x2= -12 m2+3 =-3 y1+y2= 4m m2+3 =m

，
解得m=±1，
此时，T点坐标为（-3，1）或（-3，-1）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足四边形为平行四边形时点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．