Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²+2x．
（1）求f（0）的值；
（2）求此函数在R上的解析式．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数的性质得出f（-x）=-f（x），令x=0代入可求f（0）；
（2）设x＜0，从而-x＞0，代入当x＞0时的表达式f（x）=x²+2x可得x＜0时的表达式．

解答： （1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），f（0）=-f（0）
∴f（0）=0；
（2）设x＜0，∴-x＞0，
又当x＞0时，f（x）=x²+2x．
∴f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
∴-f（x）=x²-2x，
∴f（x）=-x²+2x，
∴当x＜0时，f（x）=-x²+2x，
又由（1）知f（0）=0
∴f(x)=

x2+2x，x＞0 0，x=0 -x2+2x，x＜0

点评：本题主要考查函数解析式的求法，如果函数具备奇偶性，通常考虑函数的奇偶性在关于原点对称的两个区间上的关系解决．