Question

19．如图，四边形ABCD是体积为8$\sqrt{3}$π的圆柱OQ的轴截面，点P在底面圆周上，BP=OA=2，G是DP的中点．
（1）求证：AG⊥平面DPB；
（2）求二面角P-AG-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是体积为8$\sqrt{3}$π的圆柱OQ的轴截面，求出AD=2$\sqrt{3}$，推导出AG⊥DP，BP⊥AG，由此能证明AG⊥平面DPB．
（2）由AG⊥平面DPB，知∠PGB是二面角P-AG-B的平面角，由此能求出二面角P-AG-B的正弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是体积为8$\sqrt{3}$π的圆柱OQ的轴截面，
∴由题意知$π×{2}^{2}×AD=8\sqrt{3}$，
解得AD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOP中，BP=OA=2，AB=4，
由勾股定理得AP=2$\sqrt{3}$，
∴AD=AP，
又∵G是DP的中点，∴AG⊥DP，①
∵AB为圆O的直径，∴AP⊥BP，
由已知得DA⊥底面DAP，
∴BP⊥AG，②
∵BP∩DP=P，∴由①②知：AG⊥平面DPB．
解：（2）由（1）知AG⊥平面DPB，
∴AG⊥BG，AG⊥PG，
∴∠PGB是二面角P-AG-B的平面角，
PG=$\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}AP=\sqrt{6}$，
BP=OP=2，∠BPG=90°，
∴BG=$\sqrt{P{G}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
cos$∠PGB=\frac{PG}{BG}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
sin∠PGB=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角P-AG-B的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．