Question

9．设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f（x）sinx-f'（x）cosx＜0，$a=\frac{1}{2}f（\frac{π}{3}）$，b=0，$c=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}f（\frac{5π}{6}）$，则（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜c＜a
• C． c＜b＜a
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，即可判断出结论．

解答 解：令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx＞0，
当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，
∵$0＜\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}$＜$\frac{5π}{6}$＜π，
∴$cos\frac{π}{3}$$f（\frac{π}{3}）$＜$cos\frac{π}{2}f（\frac{π}{2}）$＜$cos\frac{5π}{6}f（\frac{5π}{6}）$，
化为：$\frac{1}{2}$$f（\frac{π}{3}）$＜0＜$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$f（\frac{5π}{6}）$，
即a＜b＜c．
故选：A．

点评 本题考查了构造函数方法、利用导数研究函数的单调性、三角函数求值考查了推理能力与计算能力，属于中档题．