Question

8．已知抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的准线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=$\sqrt{2}$x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是正三角形，则双曲线的标准方程是${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．

Answer 1

分析 抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的焦点为F（$\sqrt{3}$，0），其准线方程为x=-$\sqrt{3}$，利用△FAB为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是y=$\sqrt{2}$x，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线的方程．

解答 解：抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的焦点为F（$\sqrt{3}$，0），其准线方程为x=-$\sqrt{3}$，
∵△FAB为正三角形，
∴|AB|=4，
将（-$\sqrt{3}$，2）代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{3}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
∵双曲线的一条渐近线方程是y=$\sqrt{2}$x，∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴双曲线C₂的方程为${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．
故答案为${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．

点评 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键．