题目内容

7．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π），OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论，其中正确的是（　　）
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
②函数f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上为减函数
③任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）+f（π-x）=4．
A．①B．③C．①③D．①②

分析 由图形可得函数的解析式，再分别判断，即可得出结论．

解答 解：当0≤x≤arctan2时，f（x）=$\frac{1}{2}$tanx；
当arctan2＜x＜$\frac{π}{2}$，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM-S△OME
=2-$\frac{1}{2}$EM•OM=2-$\frac{2}{tanx}$；
当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）=2；
当$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2时，同理可得f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$．
当π-arctan2＜x≤π时，f（x）=4-$\frac{1}{2}$×1×tan（π-x）=4+$\frac{1}{2}$tanx．于是可得：
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$tan$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，正确；
②当$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2时，由f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$，为增函数．当π-arctan2＜x≤π时，f（x）=4+$\frac{1}{2}$tanx，为增函数，因此不正确．
③?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，由图形及其上面，利用对称性可得：f（x）+f（π-x）=4，因此正确；
故选C．

点评 本题考查了图形面积的计算、正切函数的单调性、简易逻辑的判定，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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