Question

15．已知函数f（x）=x²+bx，g（x）=|x-1|，若对任意x₁，x₂∈[0，2]，当x₁＜x₂时都有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂），则实数b的最小值为-1．

Answer 1

分析 令h（x）=f（x）-g（x），问题转化为满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，结合二次函数的性质通过讨论对称轴的位置，解出即可．

解答 解：当x₁＜x₂时都有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂），
即x₁＜x₂时都有f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），
令h（x）=f（x）-g（x）=x²+bx-|x-1|，
故需满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，
①当0≤x＜1时，h（x）=x²+（b+1）x-1，
对称轴x=-$\frac{b+1}{2}$≤0，解得：b≥-1，
②当1≤x≤2时，h（x）=x²+（b-1）x+1，
对称轴x=-$\frac{b-1}{2}$≤1，解得：b≥-1，
综上：b≥-1，
故答案为：-1．

点评 本题考察了二次函数的性质、考察转化思想，是一道中档题．