题目内容
10．在直角坐标系xOy中已知曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t为参数），与曲线C2：$\left\{\begin{array}{l}{x=asinθ}\\{y=3cosθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0）．（1）若曲线C1与C2有一公共点在x轴上，求a的值；
（2）若曲线C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=$\sqrt{5}$，求a的值．
分析 （1）先把曲线C1和曲线C2都化为普通方程，由此能求出结果．
（2）联立曲线C1和曲线C2的普通方程，利用弦长公式能求出结果．
解答 解：（1）∵曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t为参数）化为普通方程：2x+y-3=0，令y=0，
可得x=$\frac{3}{2}$，
曲线C2：$\left\{\begin{array}{l}{x=asinθ}\\{y=3cosθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0）化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1
∵两曲线有一个公共点在x轴上，
∴$\frac{\frac{9}{4}}{{a}^{2}}$=1，解得a=$\frac{3}{2}$．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（4a2+9）x2-12a2x=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{12{a}^{2}}{4{a}^{2}+9}$，x1x2=0，
∵|AB|=$\sqrt{5}$，∴$\sqrt{（1+4）（\frac{12{a}^{2}}{4{a}^{2}+9}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
解得a=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$或a=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$（舍）．
∴$a=\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
点评 本题考查曲线方程中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程与普通方程的互化和弦长公式的合理运用．
寒假乐园北京教育出版社系列答案| A． | 2 | B． | 4 | C． | $\frac{1}{8}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
| A． | y=x-1 | B． | y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$ | C． | y=x${\;}^{-\frac{1}{3}}$ | D． | y=x3 |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 2 | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | 4 |
| A． | $\frac{8}{15}$ | B． | $\frac{16}{15}$ | C． | $\frac{20}{31}$ | D． | $\frac{40}{31}$ |