Question

在如图所示的多面体中，四边形ABCD是梯形，∠BAD=∠CDA=90°，四边形CDEF是矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，AB=AD=DE=

1

2

CD=2，M是线段AE的中点．
（I）求证：AC∥平面MDF；
（Ⅱ）平面MDF将该几何体分成两部分，求多面体MDFE和多面体ABCDMF的体积之比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）证连结CE，交DE于N，连结MN，由此得MN∥AC，由此能求出AC∥平面MDF．
（II）将多面体ABCDEF补成三棱柱ADE-B'CF，由此能求三棱柱的体积，V_{多面体ABCDEF}=V三棱柱ADE-BCF-VF-BB′C，三棱锥F-DEM的体积V_M-DEF=

4

3

，由此能求出多面体MDFE和多面体ABCDMF的体积之比．

解答： （I）证明：连结CE，交DE于N，连结MN，
由题意知N为CE的中点，
在△ACE中，MN∥AC，…（3分）
且MN?面MDF，AC?平面MDF，
∴AC∥平面MDF．…（6分）
（II） 解：将多面体ABCDEF补成三棱柱ADE-B'CF，如图，
则三棱柱的体积为：
V=S_△ADE•CD=

1

2

×2×2×4=8，…（8分）
则V_{多面体ABCDEF}=V三棱柱ADE-BCF-VF-BB′C
=8-

4

3

=

20

3

．…（10分）
而三棱锥F-DEM的体积V_M-DEF=

4

3

，
∴多面体MDFE和多面体ABCDMF的体积之比为

VM-DEF

VABCDEF

=

1

5

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查多面体MDFE和多面体ABCDMF的体积之比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．