Question

已知

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

+|

b

|²
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当

π

6

≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域；
（3）求满足不等式f（x）≥6的x的集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：运用平面向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，及二倍角的正弦和余弦公式，以及两角和的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的图象和性质，即可得到所求的值域和x的取值集合．

解答： 解：由于f（x）=f（x）=

a

•

b

+|

b

|²
=5

3

sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x
=5

3

sinxcosx+sin²x+6cos²x=

5 3

2

sin2x+

1-cos2x

2

+3（1+cos2x）
=

5 3

2

sin2x+

5

2

cos2x+

7

2

=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

，
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由

π

6

≤x≤

π

2

，则

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

则-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．即有1≤f（x）≤

17

2

 即f（x）的值域为[1，

17

2

]；
（3）由f（x）≥6，即有sin（2x+

π

6

）≥

1

2

，
即为2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
则有kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）．
则满足不等式f（x）≥6的x的集合为[kπ，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．