Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，O分别为DD₁，AC的中点，AB=2．
（1）求证：B₁O⊥面ACM；
（2）求三棱锥O-AB₁M的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁O⊥面ACM．
（2）由VO-AB1M=VB1-AMO，利用等积法能求出三棱锥O-AB₁M的体积．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则O（1，1，0），B₁（2，2，2），A（2，0，0），
C（0，2，0），M（0，0，1），

OB1

=（1，1，2），

AM

=（-2，0，1），

AC

=（-2，2，0），
∴

OB1

•

AM

=0，

OB1

•

AC

=0，
∴OB₁⊥AM，OB₁⊥AC，
又AM∩AC=A，∴B₁O⊥面ACM．
（2）解：

AO

=（-1，1，0），
cos＜

AM

，

AO

＞=

2

5 • 2

=

10

5

，
∴sin∠MAO=

1-( 10 5 )2

=

15

5

，
∴S_△AMO=

1

2

•|

AM

|•|

AO

|•Sin∠AMO =

1

2

×

5

×

2

×

15

5

=

6

2

，
∴VO-AB1M=VB1-AMO=

1

3

×S△AMO×|

OB1

|=

1

3

×

6

2

×

6

=1．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．