Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：

1

2

S_n=a_n-1（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=1+log₂a_n，c_n=a_nb_n（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₁=2，

1

2

an=an-an-1，由此得到{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出an=2n，n∈N^*．
（2）b_n=1+log₂a_n=1+log22n=n+1，c_n=a_nb_n=（n+1）•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足：

1

2

S_n=a_n-1（n∈N^*），①
∴n=1时，

1

2

a1=a1-1，解得a₁=2，
n≥2时，

1

2

S_n-1=a_n-1-1，②
①-②，得：

1

2

an=an-an-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an=2n，n∈N^*．
（2）b_n=1+log₂a_n=1+log22n=n+1，
c_n=a_nb_n=（n+1）•2ⁿ，
∴Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)•2n，③
2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹，④
③-④得：-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=n•2n+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．