题目内容
如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下五个命题：①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；
②当且仅当x=
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③多面体ABCD-MENF的体积为
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④四棱锥C′-MENF的体积V=V（x）为常函数；
⑤直线MN与直线CC′的夹角正弦值的范围是[
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以上命题中正确的有
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,多面体和旋转体表面上的最短距离问题
专题：压轴题,空间位置关系与距离,空间角
分析：①判断周长的变化情况．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③计算两个多面体的体积关系．④求出四棱锥的体积，进行判断．⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，x=
时，直线MN与直线CC′的夹角最大．
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解答：
解：①因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，
]时，EM的长度由大变小．当x∈[
，1]时，EM的长度由小变大．所以当x=0或x=1时周长都为最大值．所以①错误．
②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=
时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．
③因为E，F是固定的中点，所以当M在运动时，AM=D'N，DN=B'M，所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是相同的．所以③正确．
④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'-MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．
⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，正弦值为
=
，x=
时，直线MN与直线CC′的夹角最大，正弦值为1，所以⑤正确．
故答案为：②③④⑤．
解：①因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，| 1 |
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②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=
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③因为E，F是固定的中点，所以当M在运动时，AM=D'N，DN=B'M，所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是相同的．所以③正确．
④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'-MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．
⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，正弦值为
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故答案为：②③④⑤．
点评：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
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