Question

已知f(x)=-

1

2

ax2+(1-a)x+lnx．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，令g（x）=f（x）-x，求经过点（-e，-1）且与曲线g（x）相切的直线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，讨论a的取值范围，即可判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，求出g（x）=f（x）-x，设出切点坐标求出对应的切线方程即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=-ax+1-a+

1

x

=

(1-ax)(x+1)

x

，（x＞0），
若a≤0，则1-ax＞0，则此时f′（x）＞0，函数单调递增，即此时函数的增区间为（0，+∞），
当a＞0．此时

1+x

x

＞0，此时只需要考虑1-ax的符号，
当f′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

，此时函数单调递增，
当f′（x）＜0，解得x＞

1

a

，此时函数单调递减，
综上a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，a＞0时，函数的增区间为（0，

1

a

），减区间为（

1

a

，+∞）．
（Ⅱ）当a=0时，令g（x）=f（x）-x=lnx，
设切点坐标为（n，lnn），则k=f′（n）=

1

n

，
此时切线方程为y-lnn=

1

n

（x-n），
∵切线过点（-e，-1），
则-1-lnn=

1

n

（-e-n），
即nlnn=e，解得n=e，
下证明根的唯一性，
当0＜n＜e时，nlnn＜nlne＜n＜e，
当n＞e时，nlnn＞nlne＞n＞e，
则方程nlnn=e只有唯一的根n=e．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，以及利用导数的几何意义求切线方程，综合考查导数的性质．