Question

设f（x）=e^tx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y=f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出切点Q的坐标，再求出函数的导数，并求出切线的斜率k，设出R点的坐标，由两点的斜率公式，写出斜率k，并求出r，求出△PRS的面积为S=

et

2t

，再运用导数求出S的最小值即可．

解答： 解：∵PQ∥y轴，P（t，0），
∴Q（t，f（t））即（t，et2），
又f（x）=e^tx（t＞0）的导数f′（x）=xe^tx，
∴过Q的切线斜率k=tet2，
设R（r，0），则k=

et2-0

t-r

=tet2，
∴r=t-

1

t

，
即R（t-

1

t

，0），PR=t-（t-

1

t

）=

1

t

，
又S（1，f（1））即S（1，e^t），
∴△PRS的面积为S=

et

2t

，
导数S′=

et(t-1)

2t2

，由S′=0得t=1，
当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，
∴t=1为极小值点，也为最小值点，
∴△PRS的面积的最小值为

e

2

．
故答案为：

e

2

．

点评：本题主要考查导数的概念和应用，考查应用导数求切线方程，同时考查运用导数求最值，考查基本的运算能力，是一道中档题．