Question

已知0≤a₁≤1，定义a_n+1=

2an，0≤an＜ 1 2 2an-1，an≥ 1 2

．
（Ⅰ）如果a₂=a₃，则a₂=

 

；
（Ⅱ）如果a₁＜a₃，则a₁的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）若0≤a2＜

1

2

，则a₃=2a₂=a₂；若a2≥

1

2

，则a₃=2a₂-1=a₂，由此能求出a₂=0，或a₂=1．
（Ⅱ）当0≤a1＜

1

2

时，a₂=2a₁．若0≤a2＜

1

2

，则a₃=2a₂=4a₁，若a2≥

1

2

，则a₃=2a₂-1=4a₁-1；②当a1≥

1

2

 时，a₂=2a₁-1．若0≤a2＜

1

2

，则a₃=2a₂=4a₁-2，若a2≥

1

2

，则a₃=2a₂-1=4a₁-3．由此进行分类讨论，能求出a₁＜a₃时，a₁的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵0≤a₁≤1，定义a_n+1=

2an，0≤an＜ 1 2 2an-1，an≥ 1 2

，a₂=a₃，
∴若0≤a2＜

1

2

，则a₃=2a₂=a₂，解得a₂=0．
若a2≥

1

2

，则a₃=2a₂-1=a₂，解得a₂=1．
∴a₂=0，或a₂=1．
故答案为：0或1．
（Ⅱ）①当0≤a1＜

1

2

时，a₂=2a₁．
若0≤a2＜

1

2

，则a₃=2a₂=4a₁，
∵a₁＜a₃，∴a₁＜4a₁，且0≤2a1＜

1

2

，
∴0＜a1＜

1

4

；
若a2≥

1

2

，则a₃=2a₂-1=4a₁-1，
∵a₁＜a₃，∴

0≤a1＜ 1 2 2a1≥ 1 2 a1＜4a1-1

，解得

1

3

＜a1＜

1

2

．
②当a1≥

1

2

 时，a₂=2a₁-1．
若0≤a2＜

1

2

，则a₃=2a₂=4a₁-2，
∵a₁＜a₃，∴

a1≥ 1 2 0≤2a1-1＜ 1 2 a1＜4a1-2

，解得

2

3

＜a1＜

3

4

．
若a2≥

1

2

，则a₃=2a₂-1=4a₁-3，
∵a₁＜a₃，∴

a1≥ 1 2 2a1-1≥ 1 2 4a1-3＞a1

，解得a₁＞1，∵0≤a₁≤1，∴a₁＞1不成立．
综上，如果a₁＜a₃，则a₁的取值范围是（0，

1

4

）∪（

1

3

，

1

2

）∪（

2

3

，

3

4

）．
故答案为：（0，

1

4

）∪（

1

3

，

1

2

）∪（

2

3

，

3

4

）．

点评：本题以数列为载体，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．