Question

数列{a_n}满足

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n=3n+1，n∈N^*，则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：数列{a_n}满足

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n=3n+1，n∈N^*，知n=1时，

1

3

a1=3+1，解得a₁=12．n≥2时，

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n+

1

3n+1

an+1=3（n+1）+1，两式相减得

1

3n+1

an+1=3，由此能求出a_n=

12，n=1 3n+1，n≥2

．

解答： 解：∵数列{a_n}满足

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n=3n+1，n∈N^*，①
∴n=1时，

1

3

a1=3+1，解得a₁=12．
n≥2时，

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n+

1

3n+1

an+1=3（n+1）+1，②
②-①，得

1

3n+1

an+1=3，
∴a_n+1=3ⁿ⁺²，∴an=3n+1．
n=1时，3ⁿ⁺¹=9≠a₁．
∴a_n=

12，n=1 3n+1，n≥2

．
故答案为：

12，n=1 3n+1，n≥2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意a₁的准确求解．