Question

设函数f（x）=

ex+x-a

（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意可得存在y₀∈[0，1]，使f（y₀）=y₀成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e^x+x-x²=a，x∈[0，1]．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围．

解答： 解：由题意可得 y₀=sinx₀∈[-1，1]，f（y₀）=

ey0+y0-a

，
∵曲线y=sinx上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，∴存在y₀∈[0，1]，使f（y₀）=y₀成立，
即f（x）=x在[0，1]上有解，即 e^x+x-x²=a 在[0，1]上有解．
令g（x）=e^x+x-x²，则a为g（x）在[0，1]上的值域．
∵当x∈[0，1]时，g′（x）=e^x+1-2x＞0，故函数g（x）在[0，1]上是增函数，
故g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤a≤e，
故答案为：[1，e]．

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．