Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且_n+1=1+S_n对一切正整数n恒成立．
（1）试求当a₁为何值时，数列{a_n}是等比数列，并求出它的通项公式；
（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$的前n项和T_n取得最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式可得a_n+1=2a_n，再由数列{a_n}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入数列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$，可得数列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$是递减数列，可知当n=9时，数列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$的项为正数，n=10时，数列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$的项为负数，则答案可求．

解答 解：（1）由a_n+1=1+S_n得：当n≥2时，a_n=1+S_n-1，
两式相减得：a_n+1=2a_n，
∵数列{a_n}是等比数列，∴a₂=2a₁，
又∵a₂=1+S₁=1+a₁，解得：a₁=1．
得：${a_n}={2^{n-1}}$；
（2）$lg\frac{400}{{a}_{n}}=lg\frac{400}{{2}^{n-1}}$，可知数列$\{lg\frac{400}{{{2^{n-1}}}}\}$是一个递减数列，
∴$lg\frac{400}{2^0}＞lg\frac{400}{2^1}＞lg\frac{400}{2^2}＞…＞lg\frac{400}{2^8}＞0＞lg\frac{400}{2^9}＞…$，
由此可知当n=9时，数列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$的前项和T_n取最大值．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．