Question

14．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x-cos2x$的图象在区间$[{0，\frac{a}{3}}]$和$[{2a，\frac{4π}{3}}]$上均单调递增，则正数a的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}}]$
• B． $[{\frac{5π}{12}，π}]$
• C． $[{\frac{π}{4}，π}]$
• D． $[{\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}}]$

Answer 1

分析 求解出函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x-cos2x$的单调增区间，根据在区间$[{0，\frac{a}{3}}]$和$[{2a，\frac{4π}{3}}]$上均单调递增建立关系可得答案．

解答 解：由函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x-cos2x$=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
当k=0时，可得增区间为[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∵在区间$[{0，\frac{a}{3}}]$和$[{2a，\frac{4π}{3}}]$上均单调递增
则$\frac{a}{3}≤\frac{π}{3}$，
∴0＜a≤π．
当k=1时，可得增区间为[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
则2a$≥\frac{5π}{6}$，
∴a$≥\frac{5π}{12}$．
综上可得：π≥a$≥\frac{5π}{12}$．
故选B

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．