Question

17．设函数f（x）=e^x-ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=b=1，求f（x）在区间[-1，2]上的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，记M（a，b）=a-b，求M（a，b）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的范围即可；
（Ⅱ）问题转化为e^x≥ax-b恒成立，易知a≥0，通过讨论a的范围，得到a＞0时即a-b≤e^x-ax+a恒成立，令g（x）=e^x-ax+a，根据函数的单调性求出a-b≤2a-alna，令h（a）=2a-alna，根据函数的单调性求出其最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=b=1时，f（x）=e^x-x+1，
f′（x）=e^x-1，
f′（x）=e^x-1=0的根是x=0，且
当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（-1，0）上单调递减．
所以f（x）_min=f（0）=2，f（x）_max=max{f（-1），f（2）}=e²-1，
所以f（x）在区间[-1，2]上的取值范围是[2，e²-1]．
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立，即e^x≥ax-b恒成立，易知a≥0，
若a=0，则-b≤0，即a-b≤0，
若a＞0，由e^x≥ax-b恒成立，即b≥-e^x+ax恒成立，
即a-b≤e^x-ax+a恒成立，
令g（x）=e^x-ax+a，则g′（x）=e^x-a，当x=lna时，g′（x）=0，
当x＞lna时，g′（x）＞0，当x＜lna时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
所以g（x）_min=g（lna）=2a-alna，
从而，a-b≤2a-alna，令h（a）=2a-alna，
因为h′（a）=1-lna，
所以，e是h（a）的极大值，
所以h（a）≤h（e）=e，故a-b的最大值是e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．