Question

设f（x）是定义在R上的函数，g（x）=

C

0 n

f（

0

n

）x⁰（1-x）ⁿ+

C

1 n

f（

1

n

）x（1-x）^n-1+…+

C

n n

f（

n

n

）xⁿ（1-x）⁰
（1）若f（x）=1，求g（x）；
（2）若f（x）=x，求g（x）．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）若f（x）=1，则f（

0

n

）=f（

1

n

）=…=f（

n

n

）=1，易求g（x）=1；
（2）若f（x）=x，则f（

k

n

）=

k

n

（k=0，1，2，…，n），g（x）=

C

0 n

0

n

x⁰（1-x）ⁿ+

C

1 n

1

n

x（1-x）^n-1+…+

C

n n

n

n

xⁿ，易证

k

n

C

k n

=

C

k-1 n-1

，代入上式，逆用二项式定理即可求得答案．

解答： 解（1）若f（x）=1，则f（

0

n

）=f（

1

n

）=…=f（

n

n

）=1，
∴g（x）=

C

0 n

x⁰（1-x）ⁿ+

C

1 n

x（1-x）^n-1+…+

C

n n

xⁿ（1-x）⁰=（1-x+x）ⁿ=1，
又0⁰无意义，
即g（x）=1（x∈R，且x≠0，x≠1）；
（2）若f（x）=x，
则f（

k

n

）=

k

n

（k=0，1，2，…，n），
∴g（x）=

C

0 n

0

n

x⁰（1-x）ⁿ+

C

1 n

1

n

x（1-x）^n-1+…+

C

n n

n

n

xⁿ，
∵

k

n

C

k n

=

k

n

n!

k!(n-k)!

=

(n-1)!

(k-1)!(n-1-(k-1))!

=

C

k-1 n-1

，
∴g（x）=0+

C

0 n-1

x（1-x）^n-1+

C

1 n-1

x²（1-x）^n-2+…+

C

n-1 n-1

xⁿ
=[

C

0 n-1

（1-x）^n-1+

C

1 n-1

x（1-x）^n-2+…+

C

n-1 n-1

x^n-1]x
=x（1-x+x）^n-1
=x
∴g（x）=x（x∈R，且x≠0，x≠1）．

点评：本题考查二项式定理，着重考查转化思想与运算能力，求得

k

n

C

k n

=

C

k-1 n-1

是关键，属于难题．