Question

已知圆C：x²+y²=1，点P（x₀，y₀）是直线l：3x+2y-4=0上的动点，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得

OA

+

OB

=

OP

，则x₀的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：向量的加法及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：在圆C上总存在不同的两点A，B使得

OA

+

OB

=

OP

，可知：四边形OAPB是菱形，于是AB垂直平分OP．分类讨论：当直线AB的斜率为0时，此时在⊙C上不存在不同的两点A，B满足条件．
当直线AB的斜率不存在时，可得P(

4

3

，0)，此时直线AB为：x=

2

3

，满足条件．
当直线AB的斜率存在且不为0时，利用AB⊥OP，kOP=

y0

x0

，可得直线AB方程为2x0x+2y0y-

x

2 0

-

y

2 0

=0，
圆心到直线AB的距离d=

x 2 0 + y 2 0

2

＜1，即

x

2 0

+

y

2 0

＜4，再利用3x₀+2y₀-4=0，即可解出．

解答： 解：∵在圆C上总存在不同的两点A，B使得

OA

+

OB

=

OP

，
∴四边形OAPB是菱形，∴AB垂直平分OP．
当直线AB的斜率为0时，由直线l：3x+2y-4=0得P（0，2），此时在⊙C上不存在不同的两点A，B满足条件．
当直线AB的斜率不存在时，由直线l：3x+2y-4=0可得P(

4

3

，0)，此时直线AB为：x=

2

3

，满足条件．
当直线AB的斜率存在且不为0时，
∵AB⊥OP，kOP=

y0

x0

，∴kAB=-

x0

y0

．
∴直线AB方程为y-

y0

2

=-

x0

y0

(x-

x0

2

)，化为2x0x+2y0y-

x

2 0

-

y

2 0

=0，
圆心到直线AB的距离d=

x 2 0 + y 2 0

2

＜1，即

x

2 0

+

y

2 0

＜4，
又3x₀+2y₀-4=0，化为13

x

2 0

-24x0＜0，
解得0＜x0＜

24

13

，
∴x₀的取值范围是(0，

24

13

)．
故答案为：(0，

24

13

)．

点评：本题考查了菱形的性质、向量的平行四边形法则、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．