Question

某工厂有25周岁以上（含2S周岁）工人300名，25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求样本中“25周岁以上（含25周岁）组”抽取的人数、日生产量平均数：
（2）若“25周岁以上组”中日平均生产90件及90件以上的称为“生产能手”；“25周岁以下组”中日平均生产不足60件的称为“菜鸟”．从样本中的“生产能手”和”菜鸟”中任意抽取2人，求这2人日平均生产件数之和X的分布列及期望．（“生产能手”日平均生产件数视为95件，“菜鸟”日平均生产件数视为55件）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）由样本单元数和总体中“25周岁以上（含25周岁）组”的频率，能求出“25周岁以上（含25周岁）组”抽取的人数；利用“255周岁以上组”频率分布直方图能求出“25周岁以上（含25周岁）组”日生产量平均数．
（2）利用频率分布直方图能求出样本中“25周岁以上组”中日平均生产90件及90件以的“生产能手”工人有3人，“25周岁以下组”中日平均生产不足60件的“菜鸟”工人有2人，从这5人组成的样本中，任取2人，这两人的日平均生产件数之和X的可能取值为190，150，110，分别求出P（X=190），P（X=150），P（X=110），由此能求出X的概率分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人100×

300

500

=60名，
样本中“25周岁以上（含25周岁）组”的日生产量平均数为：
55×0.05+65×0.35+75×0.35+85×0.2+95×0.05=73.5．
（2）由题设知，样本中“25周岁以上组”中日平均生产90件及90件以的“生产能手”工人有60×0.05=3人，
“25周岁以下组”中日平均生产不足60件的“菜鸟”工人有40×0.05=2人，
则从日平均生产95件的3名“生产能手”和日平均生产55件的2名“菜鸟”这5人组成的样本中，
任取2人，这两人的日平均生产件数之和X的可能取值为190，150，110，
P（X=190）=

C 2 3

C 2 5

=

3

10

，
P（X=150）=

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

3

5

，
P（X=110）=

C 2 2

C 2 5

=

1

10

，
∴X的概率分布列为：

X	190	150	110
P	3 10	3 5	1 10

X的期望EX=190×

3

10

+150×

3

5

+110×

1

10

=158．

点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图的应用，解题时要注意排列组合知识的合理运用．