Question

节日期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的顺序，随机抽取第一辆汽车后，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下图的频率分布直方图．
（Ⅰ）请直接回答这种抽样方法是什么抽样方法？并估计出这40辆车速的中位数；
（Ⅱ）设车速在[80，85）的车辆为A₁，A₂，…，A_n（m为车速在[80，85）上的频数），车速在[85，90）的车辆为B₁，B₂，…，B_n（n为车速在[85，90）上的频数），从车速在[80，90）的车辆中任意抽取2辆共有几种情况？请列举出所有的情况，并求抽取的2辆车的车速都在[85，90）上的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,众数、中位数、平均数

专题：概率与统计

分析：（I）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；
（II）从图中可知，车速在[80，85）的车辆数和车速在[85，90）的车辆数．从车速在[80，90）的车辆中任抽取2辆，设车速在[80，85）的车辆设为a，b，车速在[85，90）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，
是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．
故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2分）
设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-95）=0.5，
解得x=97.5，即中位数的估计值为97.5                （6分）
 （Ⅱ）由（Ⅰ）得m₁=0.01×5×40=2（辆），（7分）
m₂=0.02×5×40=4（辆）．    …（8分）
∴所以车速在[80，90）的车辆中任意抽取2辆的所有情况是：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），
（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），
（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共有15种情况．                                …（10分）
车速都在[85，90）上的2辆车的情况有6种．
所以车速都在[85，90）上的2辆车的概率是

6

15

=

2

5

．                        …（12分）

点评：解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．