Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-1|
（Ⅰ）求不等式f（x）≤12的解集M；
（Ⅱ）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|9+ab|．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）通过对自变量x取值范围的分类讨论，去掉原函数式中的绝对值符号，再解相应的不等式，最后取并集即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知M={x|-3≤x≤3}，a，b∈M，于是-3≤a≤3，-3≤b≤3，易证（9-a²）（9-b²）≥0，进一步整理可得9（a+b）²≤（9+ab）²，开方即可证得结论．

解答： 证明：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+1|+|2x-1|≤12，
当x≤-

1

2

时，-（2x+1）+1-2x≤12，得x≥-3，所以-3≤x≤-

1

2

；…2分
当-

1

2

＜x＜

1

2

时，（2x+1）-（1-2x）≤12，2≤12成立，所以-

1

2

＜x＜

1

2

；.3分
当x≥

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2

时，2x+1+2x-1≤12，解得x≤3，所以

1

2

≤x≤3；…4分
综上，M={x|-3≤x≤3}…5分
（Ⅱ）当a，b∈M时，-3≤a≤3，-3≤b≤3，…6分
a²≤9，b²≤9，9-a²≥0，9-b²≥0，（9-a²）（9-b²）≥0，…7分
即9a²+9b²≤81+a²b²，9a²++18ab+9b²≤81+18ab+a²b²，…8分
9（a+b）²≤（9+ab）²，…9分
于是有3|a+b|≤|9+ab|…10分

点评：本题考查不等式的证明，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查推理论证能力，属于难题．