Question

如图所示，已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为（-3，4），β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为

2

10

．
（1）求tan（α-β）的值；
（2）若

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求α+β．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由α的终边所在直线上的一点P的坐标为（-3，4），求得tanα，由图可知sinβ，β终边在第一象限，求tanβ，代入两角差正切求tan（α-β）的值；
（2）求α+β，根据α+β的范围（

π

2

，

3π

2

），先求其正弦值，然后可求出角的值．

解答： 解：（1）由三角函数的定义，知tanα=-

4

3

，
又由三角函数线知sinβ=

2

10

，
∵β为第一象限角，
∴cosβ=

1-sin2β

=

1-( 2 10 )2

=

7 2

10

，
∴tanβ=

1

7

，∴tan（α-β）=

- 4 3 - 1 7

1+(- 4 3 )× 1 7

=-

31

19

．
（2）∵cosα=-

3

5

，

π

2

＜α＜π，∴sinα=

4

5

．又sinβ=

2

10

，0＜β＜

π

2

，
cosβ=

1-sin2β

=

1-( 2 10 )2

=

7 2

10

．
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

7 2

10

-

4

5

×

2

10

=

2

2

．
由

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，得

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
∴α+β=

3π

4

．

点评：本题考查了三角函数的定义、三角恒等变换、化简、和求值，求值过程中对角的范围、公式的应用，符号的选取要重点把握．