Question

当x∈[0，

7π

6

]时，讨论关于x的方程2cos²x-sinx+α=0（α∈R）实根的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,同角三角函数基本关系的运用

专题：函数的性质及应用

分析：令t=sinx（0≤x≤

7π

6

），a=2(t+

1

4

)2-

17

8

，t∈[-

1

2

，1]，作出函数的图象，通过讨论a的范围，得出方程的根的个数．

解答： 解：有方程2cos²x-sinx+a=0可得a=-2cos²x+sinx，
∴a=2sin²x+sinx-2，
a=2(sinx+

1

4

)2-

17

8

，
∵0≤x≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sinx≤1，
-

17

8

≤2（sinx+

1

4

）²-

17

8

≤1，
令t=sinx（0≤x≤

7π

6

），
∴a=2(t+

1

4

)2-

17

8

，t∈[-

1

2

，1]，
画出函数图象，如图示：

（1）当a≤-

17

8

或a＞1时，方程没有实数根；
（2）当a=-2时，得sinx=

1

2

或0，可得x=0或x=

7π

6

，即方程有3个实数根；
（3）当a=1时，得sinx=

3

2

或1，可得x=

π

2

，即方程有1个实数根；  
（4）当-

17

8

＜a＜-2或-2＜a＜1时，每一个a值都对应两个不同的x值，即方程有2个实数根．

点评：本题考查了方程根的存在性，考查了三角函数问题，本题属于中档题．