Question

在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足S_n=

1

2

(an+

1

an

)．
（1）求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由S_n=

1

2

(an+

1

an

)，代入n=1，2，计算，可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．

解答： 解：（1）S1=a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，得

a

2 1

=1，由a_n＞0，∴a₁=1．（1分）
S2=a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，得

a

2 2

+2a2-1=0，∴a2=

2

-1，（3分）
同理，求得a3=

3

-

2

．（5分）
（2）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)．（6分）
①n=1时，a1=

1

-

0

命题成立．（7分）
②假设n=k时，ak=

k

-

k-1

(k∈N*)（*）成立，
则n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)
把 （*）代入上式，化简得，ak+12+2

k

ak+1-1=0，
∴ak+1=

k+1

-

k

（负舍），即n=k+1时，命题成立．
由①②得，an=

n

-

n-1

(n∈N*)．（14分）

点评：本题考查数列的通项，考查归纳猜想，考查数学归纳法的运用，属于中档题．