Question

已知函数f（x）=x+

1

x

，x∈[-1，0）∪（0，1]．
（1）证明函数f（x）在（0，1]上的单调性．
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并求函数f（x）在[-

1

2

，-

1

3

]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，证明f′（x）=1-

1

x2

＜0，即可求出函数f（x）在（0，1]上的单调性．
（2）利用奇函数的定义，即可判断；函数f（x）在[-

1

2

，-

1

3

]上单调递减，可求最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x+

1

x

，
∴f′（x）=1-

1

x2

，
∵x∈（0，1]，
∴f′（x）=1-

1

x2

＜0，
∴函数f（x）在（0，1]上单调递减；
（2）f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
函数f（x）在[-

1

2

，-

1

3

]上单调递减，
∴最大值为f（-

1

2

）=-

5

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．