Question

5．已知tanα=4$\sqrt{3}$，cos（β-α）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$
（1）求cosα的值；
（2）求β的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．
（2）利用两角和与差的三角函数化简求解即可．

解答 解：（1）tanα=4$\sqrt{3}$，且0＜α＜$\frac{π}{2}$，
可得cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\sqrt{\frac{1}{1+48}}$=$\frac{1}{7}$，
（2）由（1）可得sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
cos（β-α）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，sin（β-α）=-$\sqrt{1-（\frac{13}{14}）^{2}}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$；
cosβ=cos（β-α+α）=cos（β-α）cosα-sinαsin（β-α）=$\frac{13}{14}$×$\frac{1}{7}$-$\frac{4\sqrt{3}}{7}×（-\frac{3\sqrt{3}}{14}）$=$\frac{1}{2}$，
∴$β=\frac{π}{3}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．