Question

如图，四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，AN⊥AB，F为线段BN的中点，E为线段BC上的动点．
（Ⅰ）当E为线段BC中点时，求证：NC∥平面AEF；
（Ⅱ）求证：平面AEF⊥BCMN平面；
（Ⅲ）设

BE

BC

=λ，写出λ为何值时MF⊥平面AEF（结论不要求证明）．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出NC∥EF，由此能证明NC∥平面AEF．
（Ⅱ）由已知条件推导出AD⊥平面NAB，从而得到AD⊥AF，BC⊥AF，再由AF⊥NB，推导出AF⊥平面BCMN，由此能证明平面AEF⊥平面BCMN．
（Ⅲ）利用直线与平面垂直的判定定理，结合题设条件得到λ=

1

2

时，MF⊥平面AEF．

解答： （Ⅰ）证明：∵F为线段NB的中点，E为线段BC中点，
∴NC∥EF，又NC不包含平面AEF，EF?平面AEF，
∴NC∥平面AEF．（4分）
（Ⅱ）证明：四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，
∴AD⊥NA，AD⊥AB，
NA∩AB=A，∴AD⊥平面NAB，
AF?平面NAB，故AD⊥AF，
AD∥BC，∴BC⊥AF，
由题意NA=AB，F为线段NB的中点，
∴AF⊥NB，
NB∩BC=B，∴AF⊥平面BCMN，
∵AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面BCMN．（11分）
（Ⅲ）解：λ=

1

2

时，MF⊥平面AEF．（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．