Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为

3

2

．
（1）求a，b的值．
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．
（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；
（ⅱ）若PA²+PB²的值与点P的位置无关，求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设知a=2，e=

c

a

=

3

2

，由此能求出a=2，b=1．
（2）（i）由（1）得，椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1．设点P（m，0）（-2≤m≤2），点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）．若k=1，则直线l的方程为y=x-m．联立直线l与椭圆C的方程，得

5

4

x²-2mx+m²-1=0．|AB|=

4

5

2

•

5-m2

，点O到直线l的距离d=

|m|

2

，由此求出S_△OAB取得最大值1．
（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m）．将直线l与椭圆方程联立，得（1+4k²）x²-8mk²x+4（k²m²-1）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的．

解答： （本小题满分16分）
解：（1）由题设知a=2，e=

c

a

=

3

2

，
所以c=

3

，故b²=4-3=1．
因此，a=2，b=1．…（2分）
（2）（i）由（1）可得，椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1．
设点P（m，0）（-2≤m≤2），点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）．
若k=1，则直线l的方程为y=x-m．
联立直线l与椭圆C的方程，
即

y=x-m x2 4 +y2=1

．将y消去，化简得

5

4

x²-2mx+m²-1=0．
解得x₁=

2(2m- 1-m2 )

5

，x₂=

2(2m+ 1-m2 )

5

，
从而有，x₁+x₂=

8m

5

，x₁•x₂=

4(m2-1)

5

，
而y₁=x₁-m，y₂=x₂-m，
因此，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(x1-x2)2

=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4

5

2

•

5-m2

，
点O到直线l的距离d=

|m|

2

，
所以，S_△OAB=

1

2

×|AB|×d=

2

5

5-m2

×|m|，
因此，S²_△OAB=

4

25

（ 5-m²）×m²≤

4

25

•（

5-m2+m2

2

）²=1．…（6分）
又-2≤m≤2，即m²∈[0，4]．
所以，当5-m²=m²，即m²=

5

2

，m=±

10

2

时，S_△OAB取得最大值1．…（8分）
（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m）．
将直线l与椭圆C的方程联立，即

y=k(x-m) x2 4 +y2=1

．
将y消去，化简得（1+4k²）x²-8mk²x+4（k²m²-1）=0，
解得，x₁+x₂=

8mk2

1+4k2

，x₁•x₂=

4(k2m2-1)

1+4k2

．…（10分）
所以PA²+PB²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=

3

4

（x₁²+x₂²）-2m（x₁+x₂）+2m²+2
=

m2(-8k4-6k2+2)+(1+4k2)(8k2+8)

(1+4k2)2

 （*）．…（14分）
因为PA²+PB²的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，
所以有-8k⁴-6k²+2=0，解得k=±

1

2

．
所以，k的值为±

1

2

．…（16分）

点评：本题考查椭圆方程中的参数的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．