Question

设f（x）满足f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx（|x|≤

π

2

）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求当x取何值时，f（x）取最大值，并求出最大值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：方程思想,函数的性质及应用

分析：（1）由已知，用sinx代替-sinx，得到关于f（sinx）方程组，求出f（sinx），即得f（x）；
（2）求出0≤x≤1时f（x）的最大值以及对应的x的值即可．

解答： 解：（1）∵f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx…①，
∴f（sinx）+3f（-sinx）=-4sinx•cosx…②；
①×3-②得，
8f（sinx）=16sinx•cosx，
又∵|x|≤

π

2

，
∴cosx=

1-sin2x

，
∴f（x）=2x

1-x2

（-1≤x≤1）；
（2）∵对0≤x≤1，把函数f（x）=2x

1-x2

化为
f（x）=2

x2(1-x2)

=2

-x4+x2

=2

-(x2- 1 2 )2+ 1 4

，
令x²=

1

2

，则x=

2

2

，或x=-

2

2

（舍），
∴当x=

2

2

时，f（x）有最大值是f（x）_max=f（

2

2

）=1．

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了求函数最值的问题，解题时应用方程思想，求出方程组的解，是中档题．