Question

三次函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d∈R）在区间[-1，2]上是减函数，那么b+c的取值范围是（　　）

• A、(-∞， 

  15

  2

  )
• B、(-∞， -

  15

  2

  )
• C、A（x₀，f（x₀））
• D、(-∞，-

  15

  2

  ]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：求出原函数的导函数，由导函数在x∈[-1，2]上恒成立列出关于b，c的不等式组，然后利用线性规划知识求得b+c的取值范围．

解答： 解：由f（x）=x³+bx²+cx+d，
则f′（x）=3x²+2bx+c．
要使函数f（x）=x³+bx²+cx+d的区间[-1，2]上是减函数，
则f′（x）=3x²+2bx+c≤0在x∈[-1，2]上恒成立．
所以

f′(-1)≤0 f′(2)≤0

，即

3-2b+c≤0 12+4b+c≤0

．
以b为横轴，c为纵轴画出可行域如图，
联立

3-2b+c=0 12+4b+c=0

，
解得

b=- 3 2 c=-6

．
所以可行域上顶点为（-

3

2

，-6）．
则b+c的最大值为-

3

2

-6=-

15

2

．
故b+c的取值范围是（-∞，-

15

2

]．
故选：D

点评：本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．