Question

已知双曲线x²-

y2

2

=1．
（1）求以点A（2，1）为中点的弦所在直线方程；
（2）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P₁及P₂，求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程．
（3）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q₁及Q₂，且点B是线段Q₁Q₂的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设A（2，1）是弦P₁P₂的中点，且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用点差法能求出以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），则2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，两式相减，利用P是中点及斜率相等可求P得轨迹方程，从而得到其轨迹．
（3）假设直线l存在．由已知条件利用点差法求出直线l的方程为2x-y-1=0，联立方程组

2x2-y2=2 2x-y-1=0

，得2x²-4x+3=0，由△-8＜0，推导出直线l不存在．

解答： 解：（1）双曲线x²-

y2

2

=1方程可化为：2x²-y²=2，
设A（2，1）是弦P₁P₂的中点，
且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．
∵P₁，P₂在双曲线上，
∴

2x12-y12=2 2x22-y22=2

，
∴2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴2×4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=4，
∴以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：
y-1=4（x-2），整理得4x-y-7=0．
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
∴4x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴直线P₁P₂的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

2x

y

，
∵k_AP=

y-1

x-2

，A，P，P₁P₂共线，
∴

y-1

x-2

=

2x

y

，
∴2x²-y²-4x+y=0，
即线段P₁P₂的中点P的轨迹方程是2x²-y²-4x+y=0．
（3）假设直线l存在．
设B（1，1）是弦MN的中点，
且Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∵Q₁，Q₂在双曲线上，
∴

2x12-y12=2 2x22-y22=2

，
∴2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直线l的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
联立方程组

2x2-y2=2 2x-y-1=0

，得2x²-4x+3=0
∵△=16-4×3×2=-8＜0，
∴直线l与双曲线无交点，
∴直线l不存在．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．