Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）设c_n=（a_n+1-a_n） q^n-1（q≠0，n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用赋值法求出数列中的各个项．
（2）首先求出新构造数列的通项公式，进一步利用分裂讨论的方法求出数列的前n项和．

解答： 解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20
（2）由已知：令m=1，可得
a_n=

a2n-1+a1

2

-(n-1)2．
令m=2，可得
a_n+1=

a2n-1+a3

2

-(2-n)2．
那么a_n+1-a_n=

a3-a1

2

+（n-1）²-（2-n）²

=

6-0

2

+2n-3
=2n                       
于是c_n=2nq^n-1．
当q=1时，S_n=2+4+6+…+2n=n（n+1）
当q≠1时，S_n=2•q⁰+4•q¹+6•q²+…+2n•q^n-1．
两边同乘以q，可得
qS_n=2•q¹+4•q²+6•q³+…+2n•qⁿ．
上述两式相减得
（1-q）S_n=2（1+q+q²+…+q^n-1）-2nqⁿ
=2•

1-qn

1-q

-2nqⁿ
=2•

1-(n+1)qn+nqn+1

1-q

所以S_n=2•

nqn+1-(n+1)qn+1

(q-1)2

                 

综上所述，S_n=

n(n+1) (q=1) 2• nqn+1-(n+1)qn+1 (q-1)2 (q≠1)

点评：本题考查的知识要点：利用数列的通项公式求出数列中的各个项，根据构造的新数列，利用分类法求数列的和，属于中等题型．