Question

已知数列{a_n}的每项均为正数，首项a₁=1．记数列{a_n}前n项和为S_n，满足a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²．
（1）求a₂的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

1

an•an+3

，记数列{b_n}前n项和为T_n，求证：T_n＜

11

18

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知当n=2时，1+a23=(1+a2)2，解得a₂=2.an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1，从而a_n+1-a_n=1，进而数列{a_n}的首项为1，公差为1的等差数列，由此求出a_n=n．
（2）由

1

an•an+3

=

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，利用裂项求和法能证明T_n＜

11

18

．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
∴当n=2时，1+a23=(1+a2)2，解得a₂=2．
由于a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2①
a13+a23+…+an3+an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2②
②-①得an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2-(a1+a2+…+an)2，
∵a_n＞0，∴an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1③，
同样有an2=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2)，④．
③-④an+12-an2=an+1+an，
∴a_n+1-a_n=1，∵a₂-a₁=1，即当n≥1时都有：a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}的首项为1，公差为1的等差数列．故a_n=n．（7分）
（2）由（1）知a_n=n，则

1

an•an+3

=

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，
∴Tn=

1

a1a4

+

1

a2a5

+

1

a3a6

+…+

1

anan+3

=

1

3

(

1

1•4

+

1

2•5

+

1

3•6

+…+

1

n(n+3)

)=

1

3

(1-

1

4

+

1

2

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+3

)
=

1

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n+1

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

11

18

，
∴T_n＜

11

18

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．