Question

已知函数f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

|sinx-cosx|，x∈[0，2π]，则f（x）的值域是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．

解答： 解：函数f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

|sinx-cosx|=

cosx，sinx≥cosx sinx，sinx＜cosx

=

cosx，x∈[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] sinx，x∈(2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 )

，
∴当 x∈[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]时，f（x）=sinx∈[-1，

2

2

]，
当 x∈[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]时，f（x）=cosx∈[-1，

2

2

]，
故函数的值域为[-1，

2

2

]，
故答案为：[-1，

2

2

]．

点评：本题考点是在角函数求值域，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域，属于中档题．