Question

已知椭圆C₁：

x2

a 2 1

+y2=1  (a1＞0)与双曲线C₂：

x2

a 2 2

-3y2=1  (a2＞0)有相同的焦点F₁，F₂．点P是曲线C₁与C₂的公共点，则∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用椭圆、双曲线的定义，确定|PF₁|²+|PF₂|²=2（a₁²+a₂²），|PF₁||PF₂|=a₁²-a₂²，结合余弦定理，即可得出结论．

解答： 解：根据题意，可得
|PF₁|+|PF₂|=2a₁…①，且||PF₁|-|PF₂||=2a₂…②
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2（a₁²+a₂²），
∴|PF₁||PF₂|=a₁²-a₂²，
∵椭圆C₁与双曲线C₂有公共焦点
∴c²=a₁²-1=a₂²+

1

3

，
∴a₁²-a₂²=

4

3

，
∴|PF₁||PF₂|=

4

3

，
∴cos∠F₁PF₂=

2(a12+a22)-4a12+4

2• 4 3

=

1

2

，
∴∠F₁PF₂=60°．
故答案为：60°．

点评：本题考查椭圆、双曲线的性质，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．