Question

从x轴上一点A分别向函数f（x）=-x³与函数g（x）=

2

|x3|+x3

引不是水平方向的切线l₁和l₂，两切线l₁、l₂分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为S₁，△OAC的面积为S₂，则S₁+S₂的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：分别求出两个函数的导函数，设出两切点坐标，得到两切线方程，设出A的坐标并代入切线方程，把两切线与y轴的交点用A的坐标表示，求出面积，然后利用导数求最小值．

解答： 解：由f（x）=-x³，g（x）=

2

|x3|+x3

=x^-3（x＞0），
得f′（x）=-3x²，g′（x）=-3x^-4，
设点为A（x₀，0），
则l₁和l₂的方程分别为y+x13=-3x12(x-x1)，y-x2-3=-3x-4(x-x2)，
分别代入A（x₀，0）并整理得，
4x₁-3x₀=0，2x₂-3x₀=0，解得：x1=

3

4

x0，x2=

3

2

x0．
∴l₁，l₂与y轴的交点坐标分别为（0，

256

27

x03），（0，

27

4

x03）．
∴S=

1

2

(

256

27

x0-2+

27

4

x04)=

128

27

x0-2+

27

8

x04．
S′=-

256

27

x0-3+

27

2

x03．
由S′=0，解得x02=

8

9

．
∴当x0∈(-∞，-

2 2

3

)，(

2 2

3

，+∞)时，S′＞0；
当x0∈(-

2 2

3

，

2 2

3

)时，S′＜0．
∴当x0=

2 2

3

时S有最小值为8．
故答案为：8．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了学生的计算能力，是压轴题．